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Divisão de Polinômios:
Quando queremos dividir um polinômio f(x) por um g(x),
buscamos um quociente q(x) e um resto r(x) (o grau de r tem que ser
menor que o grau de g(x) ou r(x)º0) de modo que f(x) = g(x).q(x)
+ r(x)
O método básico da divisão de polinômios (método das
chaves) se parece bastante com a divisão algébrica usada normalmente
por todos nós. Este método consiste em :
1) dividir o termo de maior grau de f(x) pelo de maior
grau de g(x): 2x2/2x = x, obtendo assim o primeiro termo
do quociente q(x).
2) multiplicamos o quociente obtido, x, por g(x): x.(2x
– 1) = 2x2 – x. O resultado é colocado com o sinal trocado,
sob os termos semelhantes de f(x).
3) Somamos os termos semelhantes, e os termos de f(x)
que não tem semelhantes devem ser copiados. Obtemos um resto parcial.
4) Repetimos os passos anteriores com o resto parcial
obtido ate que o grau de r se torne menor que grau de g.
Veja esse exemplo: 
Teorema
do Resto:
Válido para divisões de polinômios p(x) (de grau maior que um) por binômios
do tipo q(x) = x - a (a pertencente aos C). Procede-se da seguinte
forma:
1)
Calcular a raiz do divisor ( no caso a);
2)
O resto da
divisão será p(a).
Exemplo: Determinar a divisão de f(x) = 3x4 – x3 + 2 por g(x)
= x – 1 sem efetuar a divisão
Resolução:
1)
x –1 = 0 Þ x = 1
2)
r = f (1) = 4
Resposta: O resto é 4.
Teorema de D’Alembert
Um polinômio f(x) é divisível por x – a se
, e somente se, a é raiz
de f(x).
Exemplo: Determinar m de modo que f(x) = x3
– 4x2 + mx – 5 seja divisível por x – 3
Resolução:
Pelo teorema
de D´Alembert, x = 3 é raiz de f(x), isto é , f(3) = 0. Daí:
0 = 33
– 4.32 + m.3 – 5 Þ m = 14/3
Resposta: m =
14/3
Dispositivo
de Briot - Ruffini :
É um método pratico que serve apenas para
casos em que o divisor é de grau 1. Os Passos são os seguintes:
Primeiro se coloca os coeficientes e a
raiz nos seus devidos lugares (ver exemplo);
Desce o primeiro coeficiente, o qual
multiplicará a raiz e somará com o segundo coeficiente;
Assim segue o processo, quando ele terminar os números
que aparecem na parte de baixo são os coeficientes de um polinômio de
um grau abaixo do dividendo com exceção do último número que é o resto;
Exemplo: Dividir f(x) = 3x3
- 4x2 - x + 1 por g(x) = x – 2:
Resolução:
Resposta: q(x) = 3x2 + 2x + 3 e r
= 7