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Dados dois pontos F1 e F2 ( focos ) e um segmento de medida 2a, denomina-se elipse o lugar geométrico (LG) dos pontos do plano tais que:
PF1
+ PF2 = 2a
Equação
reduzida
X2/a2 + Y2/b2 =
1 , com a > b
X2/b2 + Y2/a2 =
1, com a > b
Relação
entre os coeficientes
Eixo maior: V1V2 = 2a
Eixo menor: M1M2 = 2b ® a2 = b2 + c2
Distância focal: F1F2 = 2c
A excentricidade da elipse é o número e, tal que: e = c / a
Observações:
1) Se eixo maior da elipse paralelo ao eixo x
(x
– h)2 / a2 + (y – k)2 / b2
= 1 , a > b
2) Se eixo maior da elipse paralelo ao eixo y
(y
– k)2 / a2 + (x – h)2 / b2
= 1 , a > b
Exemplos:
1
) Determine a excentricidade da elipse de equação 16x2 +
25y2 – 400 = 0.
Resolução:
Temos: 16x2 + 25y2
= 400. Observe que a equação da elipse não está na forma reduzida. Vamos
dividir ambos os membro por 400. Fica então:
x2/25 + y2/16 =1
Portanto, a2 = 25 e b2 = 16. Daí, vem: a = 5 e
b = 4.
Como a2 = b2 + c2 , vem substituindo
e efetuando que c = 3
Portanto a excentricidade e
será igual a : e = c/a = 3/5 = 0,60
Resp: 3/5 ou 0,60.
2
) Determine as coordenadas dos focos da elipse de equação 9x2
+ 25y2 = 225.
Resolução:
dividindo ambos os membros por 225, vem:
x2/25 + y2/9
=1
Daí, vem que: a2=25
e b2=9, de onde deduzimos: a = 5 e b = 3.
Portanto, como a2 = b2 + c2, vem que
c = 4.
Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(4,0) e F2(-4,0).
3
) Determine a distancia entre os focos da elipse 9x2 +25y2
– 400 =0.
Resolução: a elipse é a do problema anterior. Portanto a distancia entre os focos
será:
D = 4 – (- 4) = 8 u.c (u.c. = unidades de comprimento).