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FUNÇÃO EXPONENCIAL

         Potenciação

         Termos da potenciação: aⁿ = b, onde a é a base, n o expoente e aⁿ ou b a potência.

         Potência com expoente natural: aⁿ = a.a.a. ... .a ( n fatores )

         Propriedades:

^·          a⁰ = 1 

^·          a¹ =  a

^·          (a^m)^p = a^mp

·         a^-n = 1 / an

·         a^m : aⁿ = a^m-n

·         a^m . aⁿ = a^m+n

·         a^{1/ n} =

^·          (a .b) ⁿ = aⁿ . bⁿ

^·          (a : b) ⁿ = a ⁿ / b ⁿ

         Função Exponencial

         A função f : R -> R* , definida por f (x) = a ^x, com a E R*₊ e a 1 e x Î R, é denominada função exponencial de base a. Exemplo: f (x) = 3^x ( a base é 3).

         Gráficos

o        Quando a > 1 -> função crescente; D = R; Im = R*_+.   
 Quando 0 < a < 1 -> função decrescente; D = R; Im = R*_+. 

         f(x) = 2^x                                                                              

        ^{f(x) = (1/2)x}

Equação exponencial

         Uma equação é denominada equação exponencial quando a incógnita aparecer no expoente.

Exemplo:

1) 5^x – 125 = 0.

Resolução: 5^x = 125 -> 5^x = 5³ -> x = 3.

Resposta: S = {3}

 

         Inequação exponencial

         Denominamos inequação exponencial toda desigualdade que possui variável no expoente. Como por exemplo 2^x-1 > 128.

o        Para resolvermos uma inequação devemos nos preocupar com as seguintes propriedades:                       Quando a >1 ...... a^x2 > a^x1   <->   x₂ > x₁    (conserva o sentido da desigualdade).    
 Quando 0 < a < 1 ...... a^x2 > a^x1  <->  x₂ < x₁  (inverte o sinal da desigualdade).

Exemplos:

 1)2^x-1 > 128 Resolução

2^x-1 > 128 Þ 2^{x – 1} > 2⁷ (como a base é maior que 1, o sinal conserva)

x – 1 > 7 Þ x >  8

Resposta: S = { x Î R| x > 8}

2) (1/3)^x < 27

Resolução

(1/3)^x < 27Þ (3^-1)^x < 3³ Þ 3^-x < 3³ Þ -x < 3 Þ x >-3

Resposta: S = { x Î R| x > -3}