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FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Logarítmos
Definição: log b a = c Û bc
= a, com a > 0 e 1 
b>0. Onde
a é o logaritmando ou antilogarítmo,
b é a base e c é o logaritmo.
Exemplo 1: log6 36 = x Û 6x = 36 Û 62 = 6x Û x = 2
Exemplo 2: O domínio da função f(x) = log3 (x – 5) é restrito pela sua condição de existência. A base (3) já é positiva e diferente de 1, devemos então ver a restrição imposta ao logaritmando, oou seja:
x – 5 > 0 Þ x > 5, assim: D = {x Î R| x > 5}
Conseqüências da definição:
o log a1 = 0
o log aa = 1
o log aan = n
o aloga b = b
o log ba = log bc <-> b = c
Exemplos:
1) Calcular o valor da expressão:
Resolução: 
Resposta: 5
2) Calcular x na igualdade log5 (x –1 ) = log5 7
Resolução:
CE: x –1 > 0 Þ x > 1
Como as bases são iguais , os logaritmandos
devem ser iguais, logo:
log5 (x –1 ) = log5
7 Þ x – 1 = 7 Þ x = 8
Resposta:
x = 8
Propriedades operatórias:
o log a(M . N) = log aM + log aN
o log a(M / N) = log aM – log na
o log aMN = N . log aM
o Cologarítmo: log a1/b = - log ab = colog ab
o Mudança de base: log ab = log cb / log ca
log ab . log ca = log cb
log ab = 1 / log ba
Exemplo
1) Calcular o valor de log3 (9 . 27)
Resolução: Aplicando a propriedade do logaritmo
do produto, temos:
log3 (9 . 27) = log3
9 + log3 27 = 2 + 3 = 5
Resposta: 5
2) Sendo log 2 = x e log 3 = y, calcular:
a) log 24
b) log 9Ö8
Resolução:
a)
log 24 = log (23 . 3)
= log 23 + log 3 = 3 log 2 + log 3 = 3x + y
b)
log 9Ö8 = log 9 + log Ö8 = log 32 + log Ö(23) = 2 log 3 + 3/2
. log 2 = 2y + 3x/2 = (4y + 3x)/2
Respostas: a) 3x + y, b) (4y + 3x)/2
3) Sendo log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4, calcular log2 6
Resolução:
Como log 2 e log 3 estão na base 10, vamos
passar log2 6 para a base 10:
log26 = log 6/log 2 = log (2.3)/log
2 = (log 2 + log 3)/log 2 = (0,3 +0,4 )/0,3 = 7/3
Resposta:7/3
Função
logarítmica
Toda função f : R -> R definida por
f (x) = log ax, com a E R, 0 < a 
1 e x E R,
é denominada função exponencial de base a.
Gráfico
-
o Quando a > 1 ® crescente
Quando 0 < a < 1 ® decrescente
Domínio: f (x) = log ax , pela definição temos:
x > 0 , a > 0 e a
1
f(x) = log2 x
f(x) = log2 x
Equação
logarítmica
Resolução de uma equação:
1) Observar a condição de existência (CE);
2) Resolver a equação;
3) Verificar se as soluções satisfazem a condição de existência:
Log ab = x ®b = ax
Exemplo:
1) Resolver a equação log4 x = 2
Resolução: CE: x > 0
Log4 x = 2 Þ x = 42 Þ
x = 16
Verificação: x > 0 Þ 16 > 0 (verdadeiro)
Resposta: S = { 16 }
2) Determinar o conjunto solução da equação logx(3x2 – x) = 2
Resolução: CE
-
3x2 – x > 0
x>0 e x1
logx (3x2 – x) = 2 Þ
-
3x2 – x = x2
- 2x2 – x = 0
- x (2x – 1) = 0
x´= 0
x´´=1/2
Verificação:
Para x = 00 – 0 > 0 (F)para x = ½3.1/4 – ½ > 0 (V)½ > 0 e ½ ¹1 (V)Resposta: S = {1/2}
Estudo
do sinal
Quando a > 1 ® log a x > 0 « x > 1 Quando 0 < a < 1 ® log a x < 0 « x > 1
log a x = 0 « x = 1 log a x = 0 « x = 1
log a x < 0 « 0 < x <1 log a x > 0 « 0 < x < 1
Inequação logarítmica
Para resolvermos uma inequção logarítmica devemos nos preocupar com as seguintes propriedades:
o Quando a > 1 ® x2 > x1 « log a x2 > log a x1 (conserva o sentido da desigualdade)
Quando 0 < a < 1 ® x2 > x1 « log a x2 < log a x1 (inverte o sentido da desigualdade)
Exemplos:
1) Resolver a inequação log3(5x – 1) > log3 4
Resolução: Devemos inicialmente resolver a
condição de existência:
5x – 1 > 0 Þ x > 1/5 (I)
Como a base é maior que 1, a função é crescente
(conserva o sinal)
5x – 1>4
x > 1 (II)
Tomando a intersecção entre os intercalos (I)
e (II): x>1
Resposta: {x Î
R| x > 1}
2) Resolver a inequação log1/2 (x – 3) ³ log1/24
Resolução:
CE: x – 3 > 0 Þ
x > 3 (I)
Como a base é menor que 1 , temos que a função
é decrescente.
4 ³ x –
3
3 + 4 ³
x
7 ³ x (II)
tomando a intersecção de (I) e (II), 7 ³ x > 3.
Resposta: S ={x Î
R| 7 ³ x > 3.}