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Dados dois pontos F1 e F2 ( focos ) e um segmento de medida 2a, denomina-se hipérbole o lugar geométrico dos pontos do plano tais que:
êPF1
– PF2 ê= 2a
Equação
reduzida
X2
/ a2 – Y2 / b2 = 1
Y2
/ a2 – X2 / b2 = 1
Relação
entre os coeficientes
F1F2 = 2c
V1V2 = 2a ® c2 = a2 + b2
M1M2 = 2b
A excentricidade
da hipérbole é dada por: e
= c / a
Observações:
1) Se hipérbole de centro (h,k) e eixo real paralelo ao eixo x
(x
– h)2 / a2 + (y – k)2 / b2
= 1
2) Se hipérbole de centro (h,k) e eixo real paralelo ao eixo y
(y
– k)2 / a2 + (x – h)2 / b2
= 1
Assíntotas
da hipérbole
As
retas r1 e r2 que contém as diagonais do retângulo da figura são denominadas
assíntotas da hipérbole.
Exemplos
1
– Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2
- 16y2 – 400 = 0.
Resolução: Temos: 25x2 - 16y2 = 400. Observe que a equação
da hipérbole não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro
por 400. Fica então:
x2/16 – y2/25 = 1
Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Daí, vem: a = 4 e
b = 5.
Como c2 = a2 + b2 , vem substituindo
e efetuando que c = Ö 41
Portanto a excentricidade e
será igual a : e = c/a = Ö 41 /4 = 1,60
Resp: 1,60.
2
– Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x2
– 9y2 = 225 .
Resolução:
Dividindo ambos os membros
por 225, vem:
x2/9 – y2/25
= 1
Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente:
a=3 e b=5.
Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25 = 34
e então c = Ö 34.
Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a
2Ö 34.
3
– Determine as equações das assíntotas da hipérbole do exercício 1.
Resposta: y = (5/4).x ou y = (-5/4).x
NOTA: entende-se por assíntotas de uma hipérbole de centro na origem,
como as retas que passam na origem (0,0) e tangenciam os dois ramos
da hipérbole num ponto impróprio situado no infinito.
Dada a hipérbole de equação:
x2/a2 – y2/b2 =1
Prova-se que as assíntotas,
são as retas de equações:
R1: y = (b/a).x
e R2: y = -(b/a).x
Veja a figura abaixo:
