Cuncursos, Vestibulares, Vestibulinhos e Carreira Militar
Links Patrocinados
Concursos
Vestibulares
Vestibulinhos
Carreira Militar
Material de Estudo
Links Patrocinados
Publicidade
Links Patrocinados
Números Complexos - C
-
Maior dos conjuntos - engloba todos os outros e acrescenta recursos
especiais como raiz quadrada de número negativo;
- Para darmos interpretação às raízes quadradas dos números negativos
adotaremos uma unidade imaginária i , onde, por definição, i2 = -1 ;
Exemplo:
Resolva a equação algébrica x2 + 100 = 0, no campo dos complexos
Resolução:
x2 + 100 = 0
x = ±Ö-100
x =
±10i
S={-10i,10i}
- Potências de i:
- i0 = 1 ;
- i1 = i ;
- i2 = -1 ;
- i3 = -i ;
- i4 = 1 : (i2 . i2 );
- i5 = i : (i4 . i );
- i6 = -1 : (i4 . i2 );
- i7 = -i : (i6 . i );
Para calcularmos uma potência de i, divide-se o expoente por 4 e adota-se como novo expoente do i o resto dessa divisão.
Exemplo:
i78 e (-2i)8:
a)
i78
Resolução:
78 : 4 = 19 + 2 ¬ resto
Assim: i78 = i2
= -1
Resposta: i78 =
-1
b)
(-2i)8
Resolução:
(-2i)8 = (-2)8. i8 = 256 . i8
Como i8 = i0
= 1,
(-2i)8 = 256
Resposta: (-2i)8
= 256
- Forma Algébrica de um
Número Complexo:
É uma das maneiras de representar um número complexo.
Z = a + bi Onde:
- a e b pertence aos Reais;
- a é a parte real do complexo. Indicamos: Re(Z) ;
- b é a parte imaginária do complexo. Indicamos IM(Z) ;
Exemplos:
- Z1 = -10 + 4 i (-10 = Re(Z1) , 4 = Im(Z1) ) - Número Imaginário;
- Z2 = 11 (11 = Re(Z2) , 0 = Im(Z2) ) - Número real ;
- Z3 = 3i ( 0 = Re(Z3) , 3 = Im(Z3) ) - Número Imaginário Puro ; - Operações com Complexos:
- Adição: Para adicionarmos dois
ou mais complexos, deveremos somar suas partes reais e imaginárias
respectivamente; Ex: Z1+Z2 = (a + bi) + (c + di) = a +bi + c +
di = (a+b) + (b+d)i
- Subtração: Para subtrairmos dois
ou mais complexos, devemos subtrair suas partes reais e imaginárias
respectivamente; Ex: Z1- Z2 = (a + bi) – (c + di) = a+ bi – c
- di = (a-c)
+ (b-d)i
- Multiplicação: Para multiplicarmos
números complexos, aplicamos a propriedade distributiva; Ex: Z1.
Z2 = (a+bi) (c+di) = ac + adi + bci + + bdi2 = ac +adi
+bci +bd(-1) = (ac-bd)
+ (ad+bc)i
- Divisão: Para dividirmos 2 complexos
basta multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do
denominador;
-
Observação: Conjugado de um número complexo:
- Troca o sinal da parte imaginária; Ex: Z= a + bi, Z = a - bi
Exemplos:
1)
Determinar
x Î R e y Î R para que se tenha (x + yi).(3
– 2i) = -2 + 10i
Resolução:
Aplicando a distributiva, temos:
3x – 2xi +3yi - 2y i2 = -2 +
10i
(3x + 2y) + (-2x + 3y)i = -2
+ 10i
daí:
- 3x + 2y = -2
- -2x + 3y = 10
Resposta : x = -2 e y = 2
2)
Efetue 
Resolução
Plano
de Gauss
Dada a forma algébrica a+bi, uma outra
forma de representá-la é escrevendo-a como par ordenado de números reais
(a,b). Como por exemplo: z = 5 – 2i = (5, -2). Este número é representado
em um sistema de coordenadas ortogonais, que é chamado plano complexo
ou plano de Gauss, onde o eixo x é chamado de eixo real e o eixo y,
eixo imaginário. O ponto, ou par ordenado, é chamado de afixo ou imagem.
Exemplo:
Vamos
determinar a imagem geométrica dos números complexos:
Z1= 3 + 2i,
Z2=
-1 + i
Z3=
4 – 3i
Z4=
-2 - i
- Módulo de um número Complexo:
Chamamos de módulo de um complexo a distância de seu afixo (complexo marcado no plano de Gauss - ponto) até a origem do plano de Gauss.
ƒ = X2 + Y2 - Argumento de um Número
Complexo:
É o angulo (Teta = q) formado entre o eixo real e o segmento que representa módulo do complexo, tomando sentido anti-horário.
Cos q = X / ƒ
Sen q= Y / ƒ
- Obs.: Representar em radianos e saber reduzir o ciclo trigonométrico ao 1º quadrante;
Exemplo
:
Determine
o argumento de Z = ½ + i Ö3/2
Resolução:
Primeiro calculamos o módulo:
ƒ=Ö[(½)2 + (Ö3/2)2]
ƒ=1
Cos q = X / ƒ =1/Ö2=Ö2/2 logo, q = 3p/4
Sen q= Y / ƒ = -1/Ö2=-Ö2/2
Resposta: q = 3p/4 rad
- Forma Trigonométrica ou
Polar:
Z = a + b i Cos Q = a / ƒ Sen Q = b / ƒ
Z = ƒ (cos Q + i sen Q ) ;
Exemplo:
Passe o número complexo do exemplo anterior para sua
forma polar:
Resolução:
Z = ½ + i Ö3/2
ƒ=1
q = 3p/4
Z = (cos 3p/4 + i sen 3p/4)
- Multiplicação de Complexos
na forma Trigonométrica:
Z1 = ƒ1 (cos q1 + i sen q1 ) Z2 = ƒ2 (cos q2 + i sen q2 )
Z1 . Z2 = ƒ1.ƒ2 [ cos (q1 + q2) + i sen (q1 + q2)] ;
Exemplo
Sendo
Z1 = 2 [cos(p/3) + i sen(p/3)] e Z2 = 3 [cos (p/6) + i sen(p/6)], calcule Z1.Z2.
Resolução:
Z1.Z2
= 2.3. [cos(p/3+p/6) + i sen(p/3+p/6)]
Z1.Z2 =
6.[cos(p/2) + i sen(p/2)]
Resposta : Z1.Z2
= 6.[cos(p/2) + i sen(p/2)]
- Divisão de complexos na forma trigonométrica:
Z1 = ƒ1 (cos q1 + i sen q1 ) Z2 = ƒ2 (cos q2 + i sen q2 )
Z1/ Z2
= ƒ1/ƒ2
.[ cos(q1 –
q2) =
i sen (q1 –q2)]
Exemplo:
Sendo
Z1 = 8 [cos(3p/2) + i sen(3p/2)] e Z2 = 2 [cos (p/6) + i sen(p/6)], calcule Z1/Z2.
Resolução:
Z1/Z2
= 8/2. [cos(3p/2-p/6) + i sen(3p/2-p/6)]
Z1/Z2 =
4.[cos(4p/3) + i sen(4p/3)]
Resposta : Z1/Z2
= 4.[cos(4p/3) + i sen(4p/3)]
- Potenciação
na forma Trigonométrica (1º Formula de Moivre):
Zn = Z.Z.Z.Z..... (n vezes)
Zn = ƒn . [cos(n. q) + i sen(n. q)]
Exemplo: Obter o valor de ( ½ + i ½ )12
Resolução:
Seja Z = ( ½ + i ½ ), cujo
afixo é P( ½. ½ )
O módulo de z: é r = Ö[( ½ )2
+ ( ½ )2] = Ö2/2
Daí temos que sen (q ) = Ö2/2 e cos (q ) = Ö2/2 Þ q = p/4
Assim, a forma trigonométrica
de Z é :
Z = Ö2/2 [ cos p/4 + i sen p/4]
Pela primeira fórmula de Moivre
temos que :
Z12 = (Ö2/2 )12 [ cos (12.p/4) + i sen (12.p/4)]
Z12 = (1/2 )6
[ cos (3p) + i sen (3p)]
Como 3p é côngruo de p, temos:
Z12 = (1/2 )6
[ cos (p) + i sen (p)] = 1/64 . (-1 + i.0) = - 1/64
Reposta: Z12 = - 1/64