Progressões Aritméticas
Progressão Aritmética (PA)é todo seqüência de números na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante, essa diferença constante é chamada de razão da progressão.
Sejam
as seqüências: (2,
6, 10, 14, 18, 22, ...) (30,
25, 20, 15, 10, 5, ...)
6
= 2+ 4 25
= 30+ (-5)
10
= 6+ 4 20
= 25+ (-5)
14
= 10+ 4 15
= 20+ (-5)
18
= 14+ 4 10
= 15+ (-5)
-
Notamos nessas seqüências que o termo posterior é igual ao termo
anterior somado de um número fixo.
a.
crescente: (r > 0) - (2, 4, 6, 8, 10, ...)_ r = 2
b.
decrescente: (r < 0) - (7, 5, 3, 1, -1, -3, ...)_ r = -2
c.
constante: (r = 0) - (9, 9, 9, 9, ...)
·
Fórmula do termo geral de
uma PA: a2 = a1 + r
a3 = a2
+ r = a1 + 2r ..... an
= a1 + (n-1)r an = termo geral n
= n-ésimo termo a1 = primeiro termo r = razão
|
Expressões
Gerais:
1)
“n-ésimo”número
par positivo: an
= 2n (n > 1)
2)
“n-ésimo número
ímpar positivo: an
= 2n – 1 ( n > 1)
3)
soma dos ‘n”primeiros
números pares positivos – PA = ( 2,4,6,...2n): Sn = n (n +1)
4)
soma dos “n”primeiros números ímpares positivos – PA = (1,3,5,...,2n-1):
Sn = n2
5)
Três números
em PA
x - r, x, x + r
6)
Cinco números
em PA
x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r
7)
Quatro números
em PA
x - 3r, x - r, x + r, x + 3r
·
Interpolação
Aritmética:
Interpolar significa inserir, intercalar meios aritméticos entre 2 números,
formando assim uma P.A. .
X , __ , __ , __ , Y
- Se interpolarmos n meios entre 2 números, iremos obter uma P.A. de
n + 2 termos;
·
Propriedades
da P.A.:
1.
Numa P.A. ao
considerarmos 3 termos consecutivos, o termo médio é a média aritmética
dos outros 2; an = an-1
+ an-1 / 2
2.
Numa P.A. finita,
a soma dos extremos é igual a soma dos termos eqüidistantes dos extremos;
a1 + an = a2
+ an-1 = a3 + an-2 = ...
·
Soma dos termos de uma P.A. Finita:
Sn = (a1 + an ) n / 2
Onde a1 é o primeiro termo, an o último
termo, n é o número de termos e Sn é a soma dos n termos.
Exemplos:
1)
Achar o número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21 e 623.
Resolução: Observamos
que o primeiro termo da PA é 25 e o último é 620, daí:
an
= a1 + (n-1)r
620 = 25 + (n-1)5
n = 120
2)
Três números estão em PA, de tal forma qu a soma entre eles
é 18 e o produto é 66. Calcular os
três números.
Indiquemos (a1,
a2, a3) = (x-r ,x ,x+r)
1º número =
x – r
2º número =
x
3º número =
x + r
Façamos um sistema
com duas variáveis (x e r):
Daí, x = 6, r
= ± 5
Fazendo r = 5
teríamos (1 , 6 , 11)
Fazendo r = -5
teríamos (11 , 6 , 1)
Os números pedidos
são 1, 6 e 11.
3)
Quantos meios aritméticos devemos interpolar entre 100 e 124
para que a razão seja 4?
Resolução:
an
= a1 + (n-1)r
124 = 100 +4n
–4
n = 7
Como 7 é o número
total de termos, devemos interpolar 7 – 2 = 5 meios.
Resposta: 5 meios
4)
Resolver a equação 1 + 7 + ... + x = 280, sabendo que os termos
do 1 termo formam uma PA.
Resolução: Na
PA temos
a1 = 1
an = x
Sn = 280
r = 6
Calculemos n
usando a forma geral:
an
= a1 + (n-1)r
x = 1 + (n-1)6
n = (x +5)/6
Vamos substituir
na fórmula da soma
Sn
= (a1 + an ) n / 2
280= (1 + x ) (x + 5)
(1/6) (1/2)
x2
+ 6x – 3355 = 0
daí,
x´=55
x´´=-61
Como
a PA é crescente, x = 55
Resposta
x = {55}