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Progressões Geométricas (P.G.)

         Progressão Geométrica (PG) é toda seqüência de números não nulos na qual é constante o quociente da divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior, esse quociente é chamado de razão (q) da progressão.

·         Seja a seqüência: (2,4,8,16,32,...)
Observamos que:
        4 = 2 x 2
        8 = 4 x 2
        16 = 8 x 2       
- Observamos que o termo posterior é igual ao termo anterior multiplicado por um número fixo;
- Toda seqüência que tiver essa lei de formação chama-se progressão Geométrica (P.G.);
- A esse número fixo damos o nome de razão (q); 

·         Representação Matemática:
q = a_n / a_n-1

·         Classificação:

1.       (2,6,18,54,...)  -  P.G. Crescente ;

2.       (-2,-6,-18,-54,...)  -  P.G. Decrescente;

3.       (6,6,6,6,6,...)  -  P.G. Constante  -   q = 1 ;

4.       (-2, 6, -18, 54,...)  -  P.G. Alternante   -  q < 0 ;

·         Termo Geral da P.G.:
- a₂ = a₁ x q
- a₃ = a₂ x q  ou a₃ = a₁ x q²
a_n = a₁ . q^n-1

·         Três números em P.G.:
x/q , x , x.q

·         Interpolação Geométrica:
Exemplo:  1,__,__,__,__,243
  a₆ = a₁ .q⁵
   243 = 1. q⁵
    q = 3
  Logo: (1,3,9,27,81,243);

·         Soma dos Termos de uma P.G. finita:
Sn = a₁ . (qⁿ - 1) / q-1

·         Soma dos Termos de uma P.G. infinita:
 - Se expressões do tipo qⁿ quando: 0 <q<1 ou n ® ¥ (tende a infinito);
     qⁿ = 0  (Aproximadamente)
    Sn = a₁ / 1-q

 

Exemplos:

1) Numa PG de 6 termos, o primeiro termo é 2 e o último é 486. Calcular a razão dessa PG

Resolução:    n= 6

                     a₁ = 2

                     a₆ = 486

a₆ = a₁.q⁵

486 = 2 . q⁵

q = 3

 

Resposta: q = 3

 

2)                  Ache a progressão aritmética em que:

a₁ + a₂ + a₃ = 7

a₄ + a₅ + a₆ = 56

Resolução:

transformando, temos:

a₁ + a₁ .q + a₁. q² = 7     Þ a₁ (1 + q + q² ) = 7              I

a₄ + a₅ + a₆ = 56             Þ a₁.q³(1 + q + q² ) = 56         II

Dividindo-se II por I :

q³ = 8 Þ q = 2

de I vem:

a₁ (1 + 2 + 4) = 7 Þ a₁ = 1

Resposta: (1, 2 , 4, 8, ...)

 

3)Interpolar ou inserir três meios geométricos entre 3 e 48.

 

Resolução: O problema consiste em formar uma PG, onde:

a₁ = 3

a_n = 48

n = 3 + 2 = 5

Devemos, então, calcular q:

a_n = a₁.q^n-1

48 = 3 . q⁴

q = ±2

Para q = 2 Þ (3 , 12, 24, 48)

Para q = -2 Þ (3, -6, 12, -24, 48)

 

 

4)Dar o valor de x na igualdade x + 3x +... +729x=5465, sabendo-se que os termos do 1° membro formam uma P.G.

 

Resolução:

 

Cálculo de n:

 

a_n= a₁q  ^n-1

729x = x . 3 ^n-1 (veja que x ¹ 0)

729 = 3 ^-1

3⁶ = 3 ^n-1

n = 7

 

Sn = a₁ . (qⁿ - 1) / q-

5465 = x (3⁷ – 1)/ (3 – 1)

x = 5

 

Resposta: x = 5

 

5) Calcular a fração geratriz da dizima 0, 3131...

 

Resolução:

 

 0,3131... = 0,31 + 0,0031+ ...   (uma PG)

a₁ = 0,31

q = 0,01

 

S_n = a₁ / 1-q

S_{n =} 0,31/1-0,01

S_n= 31/99

 

Resposta: A fração geratriz é da dízima é 31/99