Denomina-se poliedros o sólido limitado
por polígonos planos que têm, dois a dois, um lado comum. Os polígonos
são denominados faces do poliedro, já os lados e vértices dos polígonos
denominam-se, respectivamente, arestas e vértices do poliedro.
Os poliedros são classificados de acordo
com o número de faces, assim temos:
Tetraedro:
poliedro convexo com 4 faces
Pentaedro:
poliedro convexo com 5 faces
Hexaedro:
poliedro convexo com seis faces
Heptaedro:
poliedro convexo com 7 lados
Icosaedro: poliedro convexo com 20 lados
Relação
de Euler:
V – A + F = 2
onde: V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces.
Soma
dos ângulos:
S = (V – 2)360o
O poliedro convexo é dito regular quando
as suas faces são polígonos regulares, todas com o mesmo número de lados
, e se em todo vértice do poliedro converge o mesmo número de arestas.
Há somente cinco poliedros regulares, que são:
Nome |
M |
N |
V |
A |
F |
S |
Tetraedro |
3 |
3 |
4 |
6 |
4 |
720o |
Hexaedro |
3 |
4 |
8 |
12 |
6 |
2160o |
Octaedro |
4 |
3 |
6 |
12 |
8 |
1440o |
Dodecaedro |
3 |
5 |
20 |
30 |
12 |
6480o |
Icosaedro |
5 |
3 |
12 |
30 |
20 |
3600o |
Onde,
temos que:
M
= número de arestas concorrentes em cada vértice
N
= número de lados de cada face
V
= número de vértice do poliedro
A
= número de arestas do poliedro
F
= número de faces do poliedro
S
= soma dos ângulos de todas as faces do poliedro
Exemplos:
1)
Determinar
o número de arestas e de vértices de um poliedro convexo com seis faces
quadrangulares e quatro faces triangulares.
Resolução:
6 faces quadrangulares Þ 6 . 4 = 24 arestas
4 faces triangulares Þ 4 . 3 = 12 arestas
Número total de arestas = 36
Como cada aresta foi contada
duas vezes, temos:
2A = 36 Þ A = 18
Aplicando a relação de Euler,
temos:
A + 2 = V + F Þ 18 + 2 = V + 10 Þ V = 10
Resposta: O poliedro tem 10
faces, 18 arestas e 10 vértices.
2)
Num poliedro
convexo, o número de faces é 8 e o número de vértices é 12. Calcular
o número de arestas.
Resolução:
A + 2 = V + F Þ A + 2 = 12 + 8 Þ A + 2 = 20 Þ A = 18
Resposta: O poliedro possui
18 arestas.