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Polinômios

Denomina-se função polinomial ou polinômio toda função definida pela relação:
P_(X) = a_n . Xⁿ + a_n-1 . X^n-1 + a_n-2 . X^n-2 + ... + a₂ . X² + a₁ . X + a₀ 
Onde a_{n ,} a_{n-1 , ... ,} a_{1 ,} a₀ são os coeficientes do polinômio e cada parte (a_n . Xⁿ ) é chamada monômio;

Grau de um polinômio:

É o máximo grau observado entre seus monômios. Se P(x) = 0, não se define o grau do polinômio.

Ex: P(x) = x³ – 7x² + 2x –15 Þ gr(P) = 3

Valor Numérico:

É o valor obtido substituindo X por um numero Z pertencente aos Complexos.
-Obs.: Quando P(z) = 0 dizemos que z é raiz do polinômio;

Ex: A Raiz do polinômio p(x) = x³ + 4x² + mx – 3 é igual a –2. Podemos assim calcular o valor de m:

(-2)³ + 4(-2)² + m(-2) – 3 = 0 Þ 5 – 2m = 0 Þ m = 2/5

Polinômios identicamente nulo

Um polinômio é identicamente nulo quando todos os seus coeficientes são iguais a zero. P(x) = 0, para qualquer que seja x E R. Indicamos p(x)º0.

Ex.: Dado que p(x) = (a-1)x² + (b+3)x + c é um polinômio nulo, podemos determinar a, b e c, impondo que todos os coeficientes de p(x) sejam iguais à zero:

Polinômios Idênticos:

Dois polinômios são idênticos quando os seus coeficientes forem ordenadamente iguais. 
- Indicamos:   p(x) º q(x).

Ex.: Os polinômios p(x) = ax² + (b - 1)x + 3 e q(x) = -2x² + 5x – c  são idênticos quando a = -2, b - 1 = 5 Û b = 6  e – c = 3 Û c = -3 . 

Adição, Subtração e Multiplicação de polinômios: 

o        Adição: Soma-se os coeficientes dos diversos monômios de mesmo grau;

o        Subtração: Subtrai-se os coeficientes dos diversos monômios de mesmo grau;

o        Multiplicação: Usa-se a propriedade distributiva para realizar a multiplicação.

Exemplos:

1) Dados os polinômios f(x)= 2x – 1, g(x) = 3x² – 5x +1 e h(x) = -x² – 3, vamos determinar g(x) – f(x).h(x):

Resolução:

g(x) – f(x).h(x) = 3x² – 5x +1 -  (2x – 1)(-x² – 3)

fazendo a multiplicação, vem:

3x² – 5x +1 -  (-2x³ – 6x + x² + 3) = 2x³ + 2x² + x –2

Resposta: g(x) – f(x).h(x) = 2x³ + 2x² + x –2

2) Os polinômios f(x)  = -2x +a e g(x) = x + b são tais que f(x) . g(x) º -2x² – 3x –1. Determine a e b:

Resolução:

(-2x + a) (x + b) º -2x² - 3x –1 

            -2x² + ( -2b + a) x + ab º -2x² - 3x – 1

            Da identidade de polinômios seque que:

           Substituindo (II) em (I):                        

           -2b – 1/b =  -3 Þ 2b² - 3b + 1 = 0 Þ