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·
Inclinação da reta (T):
- 0º<T<180º
É o ângulo formado pela reta e o eixo X, do eixo para a reta (no sentido
ANTI-HORÁRIO);
·
Coeficiente Angular (m) ou
declividade da reta:
m = tg(T)
- T < 90º : m > 0 ;
- T > 90º : m < 0 ;
- T = 90º : m não existe ;
- T = 0º : m = 0 ;
·
Cálculo do coeficiente
Angular:
m = Yb - Ya / Xb - Xa = -a / b
·
Equação Fundamental
da Reta:
Y - Yo = m (X - Xo)
Onde:
- P(Xo,Yo) é o Ponto conhecido a ser substituído na fórmula;
- m é o Coeficiente Angular;
·
Equação Geral da
Reta:
aX + bY + c = 0
·
Equação Reduzida
da Reta:
Y = mX + q
Onde:
- m = -a / b (Coeficiente Angular)
- q = -c / b (coeficiente Linear
- ponto onde a reta toca o Eixo Y);
·
Equação Segmentaria
da Reta:
m = -q / p
X/p + Y/q = 1
·
Retas Especiais:
Posições
Relativas entre Duas Retas no Plano
Dadas as retas: r = mx + q e s = mx + q
·
Paralelas : m(r) = m(s) e q(r) ¹ q(s)
r // s
·
Concorrentes: m(r) ¹ m(s)
· Retas Perpendiculares
m(r)
. m(s) = -1
m(r) = -1 / m(s)
·
Coincidentes
m(r)
= m(s) e q(r) = q(s)
Mediatriz de um Segmento
·
É uma reta
que passa no ponto médio e perpendicularmente ao segmento:
m(AB)
= -1 / m(M)
Ponto Simétrico
- P' é simétrico de P;
- r e s formam um ângulo de 90º;
Ângulo entre Duas Retas
Distância de um ponto a uma reta
Temos: P(Xo,Yo) r: aX
+ bY + c = 0
Logo:
- Os coeficientes a, b e c vem da equação da reta enquanto que as coordenadas x0 e y0 vem do ponto dado;
Bissetrizes entre duas Retas
·
Qualquer ponto
da bissetriz é eqüidistante das retas;
d P,r
= d P,s
- Bissetriz é o conjunto de pontos que eqüidistam das retas
Exemplos:
1)
Dado os pontos
A(2, 3) e B(3, 5) de uma reta r, determinar sua equação reduzida:
Resolução:
m = (5 – 3)/(3 –2) = 2
y – y0 = m (x – x0)
y – 3 = 2 (x – 2)
y = 2x – 1
Resposta: r: y = 2x – 1
2)
Obter a equação
geral da reta r que passa pelos pontos A(2, -1) e B(1, 3)
Resolução:
Obter a equação geral de r eqüivale a resolver a equação:
= 0
Pois ela é condição de alinhamento para os pontos de
uma reta.
Resolvendo, por Sarrus o determinante, chegamos a s:
4x + y – 7 = 0
Resposta: s: 4x + y – 7 = 0
3)
Qual a equação
segmentária da reta r: y = 3x – 2?
Resolução:
Fazendo x = 0, temos y = 3 . 0 – 2 Þ y = -2.
Fazendo y = 0, temos 0 = 3 . x – 2 Þ x = 2/3.
Assim P(0 , -2) e Q(2/3, 0) são os pontos onde a reta
corta os eixos coordenados, a equação segmentária da reta é assim: 
Reposta: r: 
4)
Achar o ponto
de interseção das retas r: 2x + 5y – 3 = 0 e s: x – y + 2 = 0 .
Resolução: Para a achar o ponto de interseção basta
resolver o sistema:
2x + 5y – 3 = 0
x – y + 2 = 0
cuja solução é x = -1 e y = 1
Reposta: o ponto de interseção é (-1, 1)
5)
Determinar
a posição relativa entre as retas r: y = 3x + 1 e s: 9x – 3y – 8 = 0
Resolução:
Isolando o y na equação de s temos: y = 3x – 8/3
Assim m(r) = m(s) = 3
Vemos também que q(r) ¹q(s) (1 ¹ -8/3)
O que significa que as retas são paralelas.
Resposta: as retas são paralelas.
6)
Qual o ângulo
entre as retas r: 3x – y + 5 = 0 e s: 2x + 3y – 3 = 0.
Resolução:
Isolando o y de ambas as retas temos que m(r) = 3 e
m(s) = -2/3
Resposta: q = arctg 11/3.
7)
Calcule a distancia
entre o ponto P(2 , 3) e a reta
r dada pela equação 3x – 4y +1 = 0
Resolução:
Basta usarmos a fórmula:
Resposta: dP,r = 1
8)
Encontrar as equações das bissetrizes
entre r: 3x + 4y – 12 = 0 e
s: 8x + 6y – 5 = 0
Resolução:
Þ(3x + 4y – 12)/5 ±(8x + 6y – 5)/10
= 0 Þ 6x + 8y - 24±(8x + 6y – 5) = 0
6x + 8y – 24 - 8x - 6y + 5 = 0 Þ 2x – 2y + 19
= 0
Resposta: b1 = 14x + 14y – 29 = 0 e b2
= 2x – 2y + 19 = 0